부산 중앙중-부산 개성고 출신의 홍정운은 고교 시절까지 측면 미드필더와 스트라이커를 고루 소화했으며 명지대 진학 후, 중앙 수비수로 포지션을 변경했다. 초반에는 부상과 슬럼프 등으로 주춤했지만 차차 중앙 수비수로 자리매김하며 주목을 받았고 대학 3년 차인 2015년에는 올림픽대표팀에도 이름을 올렸다. 연령별 대표팀에도 꾸준히 발탁되며 '2016 광주 하계유니버시아드' 대회에 출전해 대한민국의 은메달 획득에 기여했다.
2016년, 자유계약을 통해 대구FC에 입단한 홍정운은 데뷔 시즌 리그 20경기를 소화하며 존재감을 드러냈다. 특히, 2018년에는 35경기에 출전해 7개의 공격포인트(5골-2도움)를 기록하며 대구의 핵심 수비수로 완전히 자리 잡았다. 또한 대구와 울산의 FA컵 결승전 1,2차전에 모두 선발 출전하며 단 1실점만을 허용하였고, 대구가 구단 역사상 첫 우승컵을 들어 올리는데 일조했다.
대전은 지난 시즌, 리그 최다 득점 3위(56골)를 기록할 정도로 화끈한 공격 축구를 펼쳤지만 수비에서 불안감을 노출하며 리그 최다 실점 2위(58골)를 기록했다. 2024시즌, 더 높은 목표 달성을 위해 반드시 수비 안정화가 필요한 대전은 베테랑 중앙 수비수 홍정운을 더하며 수비력 강화는 물론 수비 전술에서 한층 더 유연함을 갖게 되었다.